前言

作为市面上量产的同轴方案之一，采埃孚ZF 的同轴减速器不同于舍弗勒的双联行星轮方案，而是比较巧妙的差减一体方案，也就是说没有专门的差速器结构，而是融入了行星轮系之中，这也是Indi名字的由来（integrated differential gearbox），这篇文章就来研究一下这款减速器。

集成Indi减速器的ZF 三合一电驱动系统爆炸图

差速器的核心功能

差速器功能简单来说就是：差速，但不差扭。

差速： 一边转速的减少量等于另一边转速的增加量。

ZF Indi同轴减速器原理简图

动力流：

• 动力经 S1 → P1 → C1（左轴）。
• 同时 S1 → P1 → R1 → S2 → P2 → R2（右轴）

ZF INdi 差速的原理

转速的差速

上一篇中推导出的ZF INdi 减速器太阳轮转速，一级行星架转速，和二级齿圈转速之间的关系式如下：

$$n_{S1} = \frac{1}{1+\alpha_1+\alpha_2}n_{PC1} + \frac{\alpha_1+\alpha_2}{1+\alpha_1+\alpha_2}n_{R2}$$

可以看出，输入和两个输出之间是一个线性关系式。自然而然就满足差速功能的要求。这个公式描述了ZF INdi 减速器基本的的转速约束关系。

这个公式的物理意义

说明 行星架PC1 与 内齿圈R2 之间存在确定的 线性 运动学耦合关系， $n_{PC1}$ 与 $n_{R2}$ 之间互相线性制约，但又并没有被唯一确定。

这正是差速机构的数学特征：一个输入 → 两个输出之间存在一条线性约束 → 输出可相对变化。自然而然就说明这个结构是满足转速差速要求的。

如果要从数学上来说明的话，就继续往下看 👇

数学推导

如果从数学上来说的话，可以按照转速变化率来理解，

如果固定输入转速$n_{S1}$ = 常数，把总方程改写成差速形式

$$\Delta n_{PC1} + \frac{\alpha_1+\alpha_2}{1+\alpha_1} \Delta n_{R2} = 0$$

或写成“相对变化率”：

$$\frac{\Delta n_{R2}}{\Delta n_{PC1}} = -\frac{1+\alpha_1}{\alpha_1+\alpha_2}$$

物理意义：R2 转速增加，PC1 必然按比例降低，比例由齿数参数决定。由前述分析可知： ，所以，会得到：

$$\alpha_1 = \alpha_2$$

那就意味着一边转速的减少，等于另一边转速的增加量，这就实现了差速功能。

扭矩均分

除了差速，还要能够实现扭矩均分。分析扭矩可以从功率流角度来，

理想无损条件下的满足功率守恒

$$P_{in} = P_{out1} + P_{out2}$$

用转速 × 扭矩表示：

$$n_{S1} \cdot T_{S1} = n_{PC1} \cdot T_{PC1} + n_{R2} \cdot T_{R2}$$

代入速度关系可得：

$$\frac{1}{1+\alpha_1+\alpha_2}n_{PC1} \cdot T_{S1} + \frac{\alpha_1+\alpha_2}{1+\alpha_1+\alpha_2}n_{R2} \cdot T_{S1} = n_{PC1} \cdot T_{PC1} + n_{R2} \cdot T_{R2}$$

$$n_{PC1} \left( \frac{T_{S1}}{1+\alpha_1+\alpha_2} - T_{PC1} \right) + n_{R2} \left( \frac{(\alpha_1+\alpha_2)T_{S1}}{1+\alpha_1+\alpha_2} - T_{R2} \right) = 0$$

两个输出扭矩之比为：

$$\frac{T_{PC1}}{T_{R2}} = \frac{\alpha_1+\alpha_2}{1}$$

这就是该机构的固有扭矩分配比。因为 $alpha_1 = alpha_2$，所以 {PC1} = T_{R2}$，这就说明了扭矩是均分的。

以上，就从数学和物理上，分析了ZF Indi减速器的减速+差速原理

实际案例：ZF Indi 减速器

从网络上查到ZF 量产的这款减速器的齿数如下：

分别计算：

$$\alpha_1 = \frac{z_{R1}}{z_{S1}} = \frac{136}{36} = 3.778$$

$$\alpha_2 = \frac{z_{R2}}{z_{S2}} = \frac{193}{151} = 1.278$$

发现两者并不完全相等，那么左右轮的扭矩之比为：

$$\frac{T_{PC1}}{T_{R2}} = \frac{\alpha_1+\alpha_2}{1} = \frac{3.778+1.278}{1} = 5.056$$

假设输入扭矩Ts1 =520Nm，那么

$$T_{PC1} = \frac{T_{S1}}{1+\frac{1}{5.056}} = 440.5 \text{Nm}$$

$$T_{R2} = \frac{T_{S1}}{\frac{1}{5.056}+1} = 87.1 \text{Nm}$$

左右轮的扭矩差值

$$\Delta T = T_{PC1} - T_{R2} = 440.5 - 87.1 = 353.4 \text{Nm}$$

速比：

$$i = \frac{n_{S1}}{n_{PC1}} = 1 + \alpha_1 = 1 + 3.778 = 4.778$$

这款减速器据说已经量产，反过来也说明，实际应用中，在配齿选择齿比的时候，可能并没办法完全保证 和 完全相等，而是确保差值在一定范围内，进而确保左右轮端分配的扭矩和转速差控制在可接受范围内。

结语

以上把ZF INdi减速器的减速原理，以及最重要的速比关系，还有差速的原理说明白了！感叹这款减速器的设计构思确实精妙，机械美学！

当然这些只是这款减速器设计的基本原理，想要设计出来一款实际量产的减速器，还要考虑一级和二级的配齿要求，一级和二级轴向力的平衡问题，因为一级齿圈和二级太阳轮是固连的，还有一级太阳轮的轴向力，以及安装空间的限制等等。

等后续有精力了，写一个这款减速器的配齿小程序。